Точка \({x_0}\) называется точкой локального максимума функции \(f(x)\), если существует такая окрестность этой точки, что для всех \(x\) из этой окрестности выполняется неравенство: \(f(x) \leqslant f({x_0}).\)

Точка \({x_0}\) называется точкой локального минимума функции \(f(x)\), если существует такая окрестность этой точки, что для всех \(x\) из этой окрестности \(f(x) \geqslant f({x_0}).\)

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка \({x_0}\) называется точкой строгого локального максимума функции \(f(x)\), если для всех \(x\) из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство \(f(x) < f({x_0}).\)

Точка \({x_0}\) называется точкой строгого локального минимума функции \(f(x)\), если для всех \(x\) из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство \(f(x) > f({x_0}).\)

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума. Теорема.

Если функция \(f(x)\) имеет экстремум в точке \({x_0}\), то ее производная \(f'({x_0})\) либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: \(f'(x) = 0\), называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения \(f'(x) = 0\)), либо это точки, в которых производная \(f'(x)\)не существует.

!!! Запомните, что не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема.

Пусть для функции \(f(x)\) выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки \({x_0}\);
2. \(f'(x) = 0\) или \(f'({x_0})\)не существует;
3. производная \(f'(x)\)при переходе через точку \({x_0}\) меняет свой знак.

Тогда в точке \(x = {x_0}\) функция \(f(x)\) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку \({x_0}\) производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку \({x_0}\)производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная \(f'(x)\)при переходе через точку \({x_0}\) не меняет знак, то экстремума в точке \(x = {x_0}\) нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию \(f(x)\) на экстремум, необходимо:

1. найти производную \(f'(x)\);
2. найти критические точки, то есть такие значения \({x_0}\), в которых \(f'(x) = 0\) или \(f'(x)\)не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.

Рассмотрим пример использования данного алгоритма, исследуем функцию на экстремумы: \(y(x) = {x^4} - 1.\)

1. Находим производную заданной функции:

\(y'(x) = \left( {{x^4} - 1} \right)' = 4{x^3}.\)

1. Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение \(y'(x) = 0,\) то есть:

\(y'(x) = 4{x^3} = 0 \Rightarrow x = 0.\) 

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки. Для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины:

Так как при переходе через точку \(x = 0\) производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения).

Важно, что \(x = 0\) является точкой минимума. Сам же экстремум, минимум функции или наименьшее значение функции необходимо еще посчитать, подставив \(x = 0\) в выражение функции:

\({y_{\min }} = y(0) = {0^4} - 1 = - 1.\)

Не забывайте данное замечание и всегда внимательно читайте условие, что именно необходимо записать в ответе к задаче.

Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале \(( - \infty ;0)\)производная \(y'(x) < 0\), то на этом интервале функция \(y(x) = {x^4} - 1\) является убывающей; на интервале \((0; + \infty )\)производная \(y'(x) > 0\), значит, заданная функция возрастает на нем.