Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: полная энергия Е электромагнитных колебаний колебательного контура в каждый момент времени равна сумме энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля катушки индуктивности в этот момент времени. Полная энергия равна максимальной энергии электрического поля E_Cmax (в момент, когда энергия магнитного поля катушки равна нулю) и максимальной энергии магнитного поля катушки E_Lmax (в момент, когда энергия электрического поля равна нулю).

\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8% qacaWGfbGaeyypa0Jaamyra8aadaWgaaWcbaGaamitaiGac2gacaGG% HbGaaiiEaaqabaGcpeGaaiilaiaadweapaWaaSbaaSqaa8qacaWGmb% aapaqabaGcdaWgaaWcbaWdbiaad2gacaWGHbGaamiEaaWdaeqaaOWd% biabg2da98aadaWcaaqaaiaadYeacaWGXbWaa0baaSqaaiaaicdaae% aacaaIYaaaaOGaeqyYdC3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOm% aaaapeGaaiilaiaacckacaWGfbGaeyypa0Jaamyra8aadaWgaaWcba% Gaai4qaiGac2gacaGGHbGaaiiEaaqabaGcpeGaaiilaiaadweapaWa% aSbaaSqaaiaadoeaaeqaaOWaaSbaaSqaa8qacaWGTbGaamyyaiaadI% haa8aabeaak8qacqGH9aqppaWaaSaaaeaacaWGXbWaa0baaSqaaiaa% icdaaeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaadoeaaaaaaa!5E23!E = {E_{L\max }},{E_L}_{max} = \frac{{Lq_0^2{\omega ^2}}}{2},E = {E_{C\max }},{E_C}_{max} = \frac{{q_0^2}}{{2C}}\)

Здесь L – индуктивность катушки, q₀ – максимальный заряд конденсатора, ω – круговая частота электромагнитных колебаний контура, С – емкость конденсатора.

Доказательство теоремы (вывод формулы): значение электрической энергии колебательного контура, в котором совершаются гармонические колебания, в любой момент времени t равно

E_С(t)=\(\frac{{q_0^2{{\cos }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{{2C}}\)

Магнитная энергия контура, совершающего гармонические колебания, в любой момент времени t равна 

E_L(t)=\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGmbGaamyCamaaDaaaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaaakiabeM8a3naa% CaaaleqabaGaaGOmaaaakiGacohacaGGPbGaaiOBamaaCaaaleqaba% GaaGOmaaaakiaacIcacqaHjpWDcaWG0bGaey4kaSIaeqy1dy2aaSba% aSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiykaaqaaiaaikdaaaaaaa!487A!\frac{{Lq_0^2{\omega ^2}{{\sin }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{2}\)

В области гармонических колебаний, когда омическое сопротивление пренебрежимо мало (R=0), энергетических потерь нет, и заряд на обкладках восстанавливается через каждый период полностью. Магнитная энергия переходит в электрическую, и наоборот, электрическая в магнитную. По закону сохранения энергии полная энергия контура не изменяется и в любой момент времени равна сумме электрической и магнитной энергий. Найдем эту сумму:

Е=E_С+E_L=\(\frac{{q_0^2{{\cos }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{{2C}} + \frac{{Lq_0^2{\omega ^2}{{\sin }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{2}\)

Заменяя величину \({\omega ^2}\)на ее значение во втором слагаемом \({\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}\), получим 

Е=\(\frac{{q_0^2{{\cos }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{{2C}} + \frac{{q_0^2{{\sin }^2}(\omega t + {\phi _0})}}{{2C}} = \frac{{q_0^2}}{{2C}}({\cos ^2}(\omega t + {\phi _0}) + {\sin ^2}(\omega t + {\phi _0}))\) 

Выражение в скобках равно единице, поэтому \(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyraiabg2% da9maalaaabaGaamyCamaaDaaaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaaaaOqa% aiaaikdacaWGdbaaaaaa!3BFD!E = \frac{{q_0^2}}{{2C}}\)

Максимального значения электрическая энергия достигает в те моменты времени, когда косинус фазы принимает значения, равные единице, поэтому E_Смах =\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGXbWaa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaadoea% aaaaaa!3A2D!\frac{{q_0^2}}{{2C}}\)

Магнитная энергия достигает максимального значения в те моменты времени, когда синус фазы принимает значения, равные единице, поэтому E_Lмах=\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGmbGaamyCamaaDaaaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaaakiabeM8a3naa% CaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaaikdaaaaaaa!3CF6!\frac{{Lq_0^2{\omega ^2}}}{2}\), но \(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyYdC3aaW% baaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamit% aiaadoeaaaaaaa!3C20!{\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}\) и E_{Lмах=\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGXbWaa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaadoea% aaaaaa!3A2D!\frac{{q_0^2}}{{2C}}\)}

Максимальная электрическая энергия электромагнитного колебания равна максимальной магнитной энергии. Сравнивая полученные значения с выражением для полной энергии, как и положено по закону сохранения энергии, имеем равенство полной энергии в любой момент времени максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная минимальна и наоборот, так один вид энергии периодически полностью без потерь переходит в другой.

Теорема доказана.

Условия выполнения: выполняется в области упругих растяжений пружины для случая, когда массой пружины пренебрегают по сравнению с массой подвеса. Кроме того, пренебрегают процессами затухания колебаний.