Пусть дано положительное число \(a\) и произвольное действительное число \(n\) . Число \({a^n}\) называется степенью, число \(a\) - основанием степени, число \(n\) - показателем степени.

По определению полагают:

\(\begin{gathered} {a^1} = a; \\ {a^0} = 1; \\ {a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}},x \in R. \\ \end{gathered} \)

Если \(a\) и \(b\) - положительные числа, x и y - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

\(\begin{gathered} {a^x} \cdot {a^y} = {a^{x + y}}; \\ {a^x}:{a^y} = {a^{x - y}}; \\ {({a^x})^y} = {a^{xy}}; \\ {a^x} \cdot {b^x} = {\left( {ab} \right)^x}; \\ \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}; \\ \end{gathered} \)

Примеры

1. Даны 2 функции:

\(\begin{gathered} f(x) = \frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}; \\ g(x) = \frac{{3 \cdot {5^{2x}} + 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}. \\ \end{gathered} \)

Вычислите значение выражения:

\({f^2}(x) - {g^2}(x).\)

\(\begin{gathered} {f^2}(x) - {g^2}(x) = {\left( {\frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{3 \cdot {5^{2x}} + 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}} \right)^2} = \\ = \left( {\frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2} - \frac{{3 \cdot {5^{2x}} + 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2} + \frac{{3 \cdot {5^{2x}} + 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2}} \right) = \\ = \frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}} - 3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2} \cdot \frac{{3 \cdot {5^{2x}} - 4 \cdot {5^{ - 2x}} + 3 \cdot {5^{2x}} + 4 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2} = \\ = \frac{{ - 8 \cdot {5^{ - 2x}}}}{2} \cdot \frac{{6 \cdot {5^{2x}}}}{2} = \frac{{ - 8 \cdot 6 \cdot {5^{ - 2x + 2x}}}}{4} = - 12 \cdot {5^0} = - 12 \cdot 1 = - 12. \\ \end{gathered} \)

2. Представьте функцию \(f(x) = {10^{2x}} \cdot {0,1^{3x}}\) в виде показательной функции и найдите ее основание.

\(f(x) = {10^{2x}} \cdot {0,1^{3x}} = {10^{2x}} \cdot {10^{ - 3x}} = {10^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^x}.\)

Основанием функции является число \(\frac{1}{{10}}.\)

3. Представьте функцию \(f(x) = \frac{{{3^{x + 1}} + {3^{x + 2}}}}{{{4^{x + 2}} - {4^{x + 1}}}}\) в виде показательной функции, найдите ее основание и вычислите \(9f( - 1).\)

Решение:

\(f(x) = \frac{{{3^{x + 1}} + {3^{x + 2}}}}{{{4^{x + 2}} - {4^{x + 1}}}} = \frac{{{3^x}(3 + {3^2})}}{{{4^x}({4^2} - 4)}} = \frac{{{3^x} \cdot 12}}{{{4^x} \cdot 12}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}.\)

Основанием функции является число \(\frac{3}{4}.\)

\(9f( - 1) = 9 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - 1}} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12.\)

4. Даны 2 функции:

\(\begin{gathered} g(x) = \frac{{{4^x} - {4^{ - x}}}}{6}; \\ f(x) = \frac{{{4^x} + {4^{ - x}}}}{6}. \\ \end{gathered} \)

Найдите значение выражения\(f(x)f(y) - g(x)g(y),\) если: \(f(x - y) = 9.\)

Решение:

\(\begin{gathered} f(x)f(y) - g(x)g(y) = \frac{{{4^x} + {4^{ - x}}}}{6} \cdot \frac{{{4^y} + {4^{ - y}}}}{6} - \frac{{{4^x} - {4^{ - x}}}}{6} \cdot \frac{{{4^y} - {4^{ - y}}}}{6} = \\ = \frac{{{4^x} \cdot {4^y} + {4^{ - x}} \cdot {4^y} + {4^x} \cdot {4^{ - y}} + {4^{ - x}} \cdot {4^{ - y}}}}{{36}} - \frac{{{4^x} \cdot {4^y} - {4^{ - x}} \cdot {4^y} - {4^x} \cdot {4^{ - y}} + {4^{ - x}} \cdot {4^{ - y}}}}{{36}} = \\ = \frac{{2 \cdot {4^{ - x}} \cdot {4^y} + 2 \cdot {4^x} \cdot {4^{ - y}}}}{{36}} = \frac{{2 \cdot ({4^{x - y}} + {4^{ - (x - y)}})}}{{36}} = \frac{1}{3} \cdot f(x - y) = 3. \\ \end{gathered} \)