1. Найдите область определения функции:

\(y = ctg\frac{{\pi x}}{{{x^2} + 4}}.\)

Решение:

Пусть \(t = \frac{{\pi x}}{{{x^2} + 4}} = \frac{\pi }{{x + 4/x}},x \ne 0.\)

Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел, получим:
если x > 0, то: \(x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{x}{4}} = 4 \Rightarrow 0 < t \le \frac{\pi }{4};\)

если x < 0, то: \( - x + \frac{4}{{ - x}} \ge 4 \Rightarrow x + \frac{4}{x} \le 4 \Rightarrow 0 < t < \frac{\pi }{4}.\)

Таким образом, при x ≠ 0:

\(t \in \left[ { - \frac{\pi }{4}} \right.;\left. 0 \right) \cup \left( {0;} \right.\left. {\frac{\pi }{4}} \right].\)

Функция \(y = ctgt\) не определена при t = 0, то есть точка x = 0 не входит в ОДЗ. Тогда:

\(D(y) = ( - \infty ;0) \cup (0: + \infty ).\)

2. Найдите множество значений функции:

\(y = \frac{9}{\pi }\arccos \frac{{3\sqrt 2 + \sin x - \cos x}}{{4\sqrt 2 }}.\)

Решение:

Так как:

\(\begin{array}{l}\sin x - \cos x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right) = \\ = - \sqrt 2 \left( {cosx\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \\ = - \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\end{array}\)

то множество значений этой разности – отрезок \([ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ],\) а дробь \(\frac{{3\sqrt 2 + \sin x - \cos x}}{{4\sqrt 2 }} = t\) принимает все значения из отрезка \(\left[ {\frac{{2\sqrt 2 }}{{4\sqrt 2 }},\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt 2 }}} \right] = \left[ {\frac{1}{2},1} \right].\)

Тогда:

\(\begin{array}{l}y = \frac{9}{\pi }\arccos t \Rightarrow \arccos t = \frac{{y\pi }}{9} \Rightarrow \\\cos \frac{{y\pi }}{9} = t \Rightarrow t \in \left[ {\frac{1}{2},1} \right],\\0 \le \frac{{y\pi }}{9} \le \frac{\pi }{3},\\0 \le y \le 3.\end{array}\)

3. Докажите тождество:

\(\left( {\frac{1}{{\cos 2\alpha }} + ctg\left( {\frac{{5\pi }}{2} + 2\alpha } \right)} \right)ctg\left( {\frac{{5\pi }}{4} - \alpha } \right) = 1.\)

Решение:

Упростим левую часть равенства:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{{\cos 2\alpha }} + ctg\left( {2\pi + \frac{\pi }{2} + 2\alpha } \right)} \right)ctg\left( {\pi + \frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \left( {\frac{1}{{\cos 2\alpha }} + ctg\left( {\frac{\pi }{2} + 2\alpha } \right)} \right)ctg\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \left( {\frac{1}{{\cos 2\alpha }} - tg2\alpha } \right)ctg\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \left( {\frac{1}{{\cos 2\alpha }} - \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }}} \right)ctg\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }}ctg\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right)}}{{\cos 2\alpha }}ctg\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \\ = \frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)}}{{\cos 2\alpha \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)}} = \\ = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right)}}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = 1.\end{array}\)

4. Найдите период функции:

\(y = \sin 2x + tg\frac{x}{2}.\)

Решение:

Период функции \(y = \sin 2x\) равен \({T_1} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi .\)

Период функции \(y = tg\frac{x}{2}\) равен \({T_2} = \frac{\pi }{{1/2}} = 2\pi .\)

Периодом заданной функции будет наименьшее общее кратное периодов ее слагаемых, т.е. \({T_{}} = 2\pi .\)