Четность и нечетность функции

К важ­ней­шим свой­ствам функ­ций от­но­сит­ся чет­ность/нечет­ность.

Функ­ция на­зы­ва­ет­ся нечет­ной, если при из­ме­не­нии знака ар­гу­мен­та, она ме­ня­ет свое зна­че­ние на про­ти­во­по­лож­ное. Фор­муль­ная за­пись этого вы­гля­дит так \(f( - x) = - f(x).\) Это зна­чит, что после под­ста­нов­ки в функ­цию на место всех иксов зна­че­ний «минус икс», функ­ция из­ме­нит свой знак. Гра­фик такой функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

При­ме­ра­ми нечет­ных функ­ций яв­ля­ют­ся:

 \(\begin{gathered} y = x; \\ y = {x^3}; \\ y = \sin x; \\ \end{gathered} \)

и другие.

Посмотрим на графическое изображение таких функций и симметричность относительно точки (0;0).

Функ­ция на­зы­ва­ет­ся чет­ной, если при из­ме­не­нии знака ар­гу­мен­та, она не ме­ня­ет свое зна­че­ние. Фор­муль­ная за­пись этого вы­гля­дит так \(f( - x) = f(x).\). Это зна­чит, что после под­ста­нов­ки в функ­цию на место всех иксов зна­че­ний «минус икс», функ­ция в ре­зуль­та­те не из­ме­нит­ся. Гра­фик такой функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси Оу.

При­ме­ра­ми чет­ных функ­ций яв­ля­ют­ся:

\(\begin{gathered} y = |x|; \\ y = {x^2}; \\ y = \cos x; \\ \end{gathered} \)

и другие.

Покажем симметричность функции модуля y=|x|. Аналитически по правилу \(y( - x) = | - x| = |x| = y,\) т.е. функция четная.

Графически:

Важно! Если функ­ция не от­но­сит­ся ни к од­но­му из ука­зан­ных видов, то ее не на­зы­ва­ют ни чет­ной, ни нечет­ной. Она является функ­ци­ей об­ще­го вида. И у таких функ­ций нет сим­мет­рии.

Рассмотрим функцию \(y(x) = 5 - 3x.\) Проверим ее на четность/нечетность:

\(y( - x) = 5 - 3 \cdot ( - x) = 5 + 3x \ne \left\{ \begin{gathered} - y(x), \\ y(x). \\ \end{gathered} \right.\)

Таким образом, это функция общего вида, которая не имеет симметрии. Посмотрим на ее вид на графике: