1. Найдите период функции:

\(y = \sin (x - 2) + 5cos\pi x.\)

Решение:

Период функции \(y = \sin (x - 2)\) равен \({T_1} = \frac{{2\pi }}{1} = 2\pi .\)

Период функции \(y = 5cos\pi x\) равен \({T_2} = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2.\)

Периода у функции \(y = \sin (x - 2) + 5cos\pi x.\) не существует, т.к. такого числа нет, при делении которого на \(2\pi \) и 2 получились бы целые числа.

2. Найдите период функции:

\(y = \sin \frac{{3x}}{4} + 5\cos \frac{{2x}}{3}.\)

Решение:

Период функции \(y = \sin \frac{{3x}}{4}\) равен \({T_1} = \frac{{2\pi }}{{3/4}} = \frac{{8\pi }}{3}.\)

Период функции \(y = 5\cos \frac{{2x}}{3}\) равен \({T_2} = \frac{{2\pi }}{{2/3}} = 3\pi .\)

Периодом заданной функции будет наименьшее общее кратное периодов ее слагаемых, т.е. \(T = 24\pi .\)

3. Найти наименьшее значение функции \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x.\)

Решение:

Преобразуем выражение по формуле \({a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2}).\)

Тогда:

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) = \\ = \left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) = \\ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x = \\ = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x.\end{array}\)

Однако:

\(\begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}2x \le 1\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 1.\end{array}\)

Таким образом, область значений функции \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) представляет собой отрезок \(\left[ {\frac{1}{4},1} \right].\). Наименьшим значением функции будет 1/4.

4. Вычислите \(\sin 2\alpha \), если \(\sin \alpha - \cos \alpha = t.\)

Решение:

Возведем в квадрат обе части последнего равенства:

\(\begin{array}{l}{t^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + 2{\cos ^2}\alpha = 1 - \sin 2\alpha \\ \Rightarrow \sin 2\alpha = 1 - {t^2}.\end{array}\)

5. Найдите значение суммы:

\(S = arctg\frac{1}{5} + arctg\frac{2}{3}.\)

Решение:

Так как \(\frac{1}{5} \in (0;1)\) и \(\frac{2}{3} \in (0;1),\) то в силу убывания арккотангенса на (0;1) имеем:

\(\begin{array}{l}arctg\frac{1}{5} \in \left( {arctg1;arctg0} \right) = \left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right);\\arctg\frac{2}{3} \in \left( {arctg1;arctg0} \right) = \left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right).\end{array}\)

Значит \(S \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}} \right).\)

Найдем \(ctgS\) . По формуле сложения аргументов получаем:

\(\begin{array}{l}arctg\frac{1}{5} = \alpha \Rightarrow ctg\alpha = \frac{1}{5};\\arctg\frac{2}{3} = \beta \Rightarrow ctg\beta = \frac{2}{3};\\ctgS = \frac{{\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} - 1}}{{\frac{1}{5} + \frac{2}{3}}} = - 1;\\S = \frac{{3\pi }}{4}.\end{array}\)