Корнем n-ной степени \((n\in N,n\geq 2)\) из действительного числа а называется такое действительное число b, n-ая степень которого равна а, т.е. \(b^n=a.\)

Например, числа 2 и –2 являются корнями квадратными из числа 4, т.к. \(2^2=4\) и \((-2)^2=4.\).
Число –3 является корнем кубическим из числа –27, т.к. \((-3)^3=27.\)

Арифметическим корнем n-ой степени (n € 2) из неотрицательного числа а называется неотрицательное число b, n-ая степень которого равна а.
Обозначают арифметический корень символом \(b=\sqrt[n]{a}\) где а называется подкоренным выражением, n – показателем корня.

Из определения арифметического корня n-ой степени из числа следует:

1. \(\sqrt[n]{a}\) имеет смысл только при \(a\geq 0;\)
2. значение корня \(\sqrt[n]{a}\) всегда неотрицательно, т.е. \(\sqrt[n]{a} \geq 0;\)
3. равенство \((\sqrt[n]{a})^n=a\) верно при любом \(a\geq 0.\)

Свойства арифметического корня

1. Основное свойство: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, т.е.

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{{a^m}}} = \sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}},\\a \ge 0\end{array}\)

В самом деле,

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{{a^m}}} = b(b \ge 0) \Leftrightarrow {b^n} = {a^m} \Leftrightarrow \\{({b^n})^k} = {({a^m})^k} \Leftrightarrow {b^{nk}} = {a^{mk}}.\end{array}\)

Откуда следует, что: \(b = \sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}}\)

или, что то же самое, \(\sqrt[n]{{{b^m}}} = \sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}}.\)

2. \(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b},\\a \ge 0,b \ge 0\end{array}\)

3. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\\a\geq0,b>0\)

4. \((\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k},\\a\geq0\)

5. \(\begin{array}{l}\sqrt[k]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{kn}]{a},\\a \ge 0\end{array}\)

6. \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt[n]{{{a^{}}}}} \right)^n} = a,\\a \ge 0\end{array}\)

7. \(\sqrt[{2k}]{{{a^{2k}}}} = |a|\)

Если а > 0 и \(n\in N\), n – нечетное, то корень n-ой степени из числа а так же обозначается символом \(\sqrt[n]{a}.\)

Заметим, что корни нечетной степени извлекаются из любых чисел, причем однозначно.