В своих расчетах немецкий физик-теоретик Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами. Здесь Планк следовал Рэлею. Но Планку пришла мысль связать с энергией осциллятора не его температуру, а его энтропию. Оказалось, что полученное выражение хорошо описывает экспериментальные данные (октябрь 1900 г.). Однако обосновать свою формулу Планк смог только в декабре 1900 г., после того, как более глубоко понял вероятностный смысл энтропии, на которую указал Больцман (\(S = k\ln \Omega \)).

Термодинамическая вероятность \(\Omega \) – число возможных микроскопических комбинаций, совместимое с данным состоянием в целом.

В данном случае это число возможных способов распределения энергии между осцилляторами. Однако такой процесс подсчета возможен, если энергия будет принимать не любые непрерывные значения, а лишь дискретные значения, кратные некоторой единичной энергии. Эта энергия колебательного движения должна быть пропорциональна частоте.

Итак,гипотеза Планка состояла в том, что энергия осциллятора должна быть целым кратным некоторой единицы энергии, пропорциональной его частоте:

\({E_n} = nh\nu ,\) где n = 1, 2, 3,… .

Минимальная порция энергии (квант энергии)

\(E = h\nu = \hbar \omega \),

где \(h = 6,62 \cdot {10^{ - 34}}\)– постоянная Планка; \(\hbar = h/2\pi \) и \(\omega = 2\pi \nu \).

То, что энергия излучения квантуется и минимальная порция энергии равна \(h\nu \), – это гениальная догадка Макса Планка.

Принципиальное отличие вывода Планка от выводов Рэлея и других в том, что «не может быть и речи о равномерном распределении энергии между осцилляторами».

Окончательный вид формулы Планка –

\({r_{\nu ,T}} = \frac{{2\pi {\nu ^2}}}{{{c^2}}}\frac{{h\nu }}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}},\) (2.1.3)

или

\({r_{\lambda ,T}} = \frac{{2\pi h{c^2}}}{{{\lambda ^5}}}\frac{1}{{{e^{hc/kT\lambda }} - 1}}\). (2.1.4)

Из формулы Планка можно получить и формулу Рэлея – Джинса, и формулу Вина, и закон Стефана – Больцмана.

Для универсальной функции Кирхгофа Планк вывел формулу

\(f(\nu ,{\rm T}) = \frac{{2\pi h{\nu ^3}}}{{{c^2}}}\frac{1}{{{e^{h\nu /kT}} - 1}}\).

Формула блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур (рис. 2.1.4). Теоретически вывод этой формулы М. Планк представил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и c, можно вычислить постоянную Стефана – Больцмана σ и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения σ и b, можно вычислить h и k (именно так было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.