Свойства касательных к окружности

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА = МВ и \(\angle AMO=\angle BMO\), где О – центр окружности.
3. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Свойства хорд окружности

Произведения длин отрезков хорд АВи СD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть:

АЕ · ЕВ = СЕ · ЕD.

Углы, связанные с окружностью

1. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ОВ и ОС (где О – центр окружности). Центральный угол \(\angle BOC\) измеряется дугой ВС, на которую он опирается.
2. Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами АВ и АС, выходящими из точки А на окружности. Вписанный угол \(\angle BAC\) измеряется половиной дуги ВС, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Длина окружности, площадь круга

\(l=2\pi R,\\S=\pi R^2.\)

Длина дуги, площадь сектора

\(l_{AB}=\frac{\alpha}{180^0} \pi R,\\ S_{AOB}=\frac{\alpha}{360^0}\pi R^2,\)

где α – центральный угол, опирающийся на дугу АВ, выраженный в градусах.