Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи:Е_к = \(\frac{3}{2}k{\rm T}\) - средняя кинетическая энергия молекул газа прямо пропорционально зависит от величины абсолютной термодинамической температуры. 

Доказательство теоремы. Вывод формулы: используя модель идеального газа, предполагается, что давление газа на стенки сосуда возникает в результате ударов отдельных молекул.

Представим себе сосуд в виде куба с длиной ребра Δl, в котором беспорядочно движутся N молекул идеального газа. Ввиду полной беспорядочности движения молекул и ввиду того, что давление по закону Паскаля одинаково во всех направлениях, в каждый момент времени 1/3 всех молекул движется между передней и задней стенками, 1/3 между правой и левой и 1/3 между верхней и нижней стенками куба. Отдельная молекула массы m, летящая перпендикулярно к стенке со скоростью v, упруго отразится назад, при этом изменение импульса молекулы будет равно mv − m(−v) = 2mv.

По второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу силы fּδt, полученному стенкой во время удара δt; fּδt= 2mv.

Отскочив от стенки, молекула долетит до противоположной стенки, отразится от нее и снова подлетит к первой стенке через некоторое время Δt.

Средний импульс силы f_срּΔt, действующий на стенку между двумя последовательными ударами одной молекулы об одну и ту же стенку, таким образом, будет равен 

f_срּΔt= 2mv. (1)

(Применено приближение: поскольку молекул в кубе достаточно много, то какой бы маленький объем внутри куба мы ни взяли, всегда найдется молекула с координатой внутри этого объема, летящая вдоль выбранного направления со скоростью v. Значит, можно рассчитать время полета молекулы между стенками, как будто это одна молекула летает между стенками без столкновений с другими молекулами.) 

Δt = \(\frac{{2\Delta l}}{v}\) , здесь 2Δl – путь молекулы от одной стенки до другой и обратно по перпендикуляру к стенке. Подставляя значение Δt в (1), получим f_ср = \(\frac{{m \cdot {v^2}}}{{\Delta l}}\). 

Разные молекулы, движущиеся с различными скоростями v₁, v₂, v₃, … создадут суммарную силу удара:

F = \(\frac{{m \cdot v_1^2}}{{\Delta l}} + \frac{{m \cdot v_2^2}}{{\Delta l}} + \frac{{m \cdot v_3^2}}{{\Delta l}} + ... + \frac{{m \cdot v_k^2}}{{\Delta l}}\), здесь k – число молекул, движущихся между противоположными стенками. Преобразуем последнее уравнение, помножив и разделив его на число молекул, которое обозначим k:

 F = \(\frac{{k \cdot m}}{{\Delta l}} \cdot \frac{{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + ... + v_k^2}}{k}\). Величина \(\frac{{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + ... + v_k^2}}{k} = \overline {{v^2}} \) - среднее значение квадратов скоростей − называется средней квадратичной скоростью. Итак, F = \(\frac{{k \cdot m}}{{\Delta l}} \cdot \overline {{v^2}} \).

Так как давление на все стенки сосуда одинаково (это и показывает экспериментальный закон Паскаля), число молекул, движущихся между противоположными стенками, равно 1/3 от общего числа молекул N (иначе давление на разные стенки сосуда было бы разным), откуда F = \(\frac{1}{3}\frac{N}{{\Delta l}} \cdot m\overline {{v^2}} \). Поделим обе части этого равенства на Δl²:

\(\frac{F}{{\Delta {l^2}}} = \frac{1}{3}\frac{N}{{\Delta {l^3}}} \cdot m\overline {{v^2}} .\) (2)

Здесь \(\frac{F}{{\Delta {l^2}}}\) = Р − давление газа на стенку куба, а \(\frac{N}{{\Delta {l^3}}}\) = n – концентрация молекул в кубе. Тогда 

 \(P = \frac{1}{3}n \cdot m{\upsilon ^2}\) (3)

Помножив и поделив на 2, получим

\(P = \frac{2}{3}n \cdot \frac{1}{2}m{\bar \upsilon ^2};\) \({\rm P} = \frac{2}{3}n{\overline {\rm E} _{\rm K}}\), (4)

где\(\frac{1}{2}m\overline {{v^2}} \) \( = {\overline {\rm E} _{\rm K}}\)− средняя кинетическая энергия молекул газа. Помножив (4) справа и слева на объем одного моля газа V₀, получим\(P{V_{\rm{0}}} = \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}n{V_0}{\overline {\rm E} _{\rm K}}\), но по уравнению Менделеева−Клапейрона \(P{V_{\rm{0}}} = RT\),

а nּV₀ = N_A, откуда RT = \(\frac{2}{3}{N_A} \cdot {\overline {\rm E} _{\rm K}}\) или \({{\rm E}_{\rm K}} = \frac{3}{2}\frac{R}{{{N_{\rm{A}}}}}T\). Поскольку отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро есть постоянная Больцмана \(\frac{R}{{{N_{\rm{A}}}}} = k\) , то

\({{\rm E}_{\rm K}} = \frac{3}{2}kT\). (5)

Каждое из соотношений: и (4), и (5) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Теорема доказана.

Условия выполнения: формулы выполняются для модели идеального газа.