Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств основано на следующих теоретических фактах:

1. Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз.
2. Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их, либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.
3. Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.

Пример

Решите уравнение:\({x^3} = 2 - x\)

Решение.

Рассмотрим функции \(f(x) = {x^3}\) и \(g(x) = 2 - x.\)

Функция f(x) возрастает на всей области определения, а функция g(x) убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не

более одного корня.

Подбором находим, что x=1. Проверкой убеждаемся, что x=1 действительно корень уравнения.

Проверка: 13=2-1; 1=1.

Ответ: 1.

Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого \(x \in D\)

выполняется равенство: \(f( - x) = f(x).\)

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями:

·Сумма четных (нечетных) функций являет

ся четной (нечетной) функцией.

·Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

·Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

·Если функция f четна (нечетна), то и функция \(\frac{1}{f}\)

четна (нечетна).

Пример

Может ли при каком-нибудь значении а уравнение: \(2{x^8} - 3a{x^6} + 4{x^4} - a{x^2} = 5\) иметь 5 корней?

Решение.

Обозначим \(f(x) = 2{x^8} - 3a{x^6} + 4{x^4} - a{x^2} = 5,\) где f(x) – четная функция. Если х0 – корень данного уравнения, то (-х0) – тоже корень. Значение х=0 не является корнем уравнения. Следовательно, число корней у этого уравнения при любом

действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не

может.

Использование области определения функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых

значений функции. Для нахождения функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на

нуль, возведение в рациональную степень

отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.). Иногда знание позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет

решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел.

Пример

Решите неравенство \(\sqrt {x + 3} + \sqrt[4]{{9 - x}} < \sqrt 3 \)

Решение.

ОДЗ неравенства есть все x из промежутка \( - 3 \leqslant x \leqslant 9.\)

Разобьем это множество на два промежутка \( - 3 \leqslant x \leqslant 0\) и \(0 \leqslant x \leqslant 9.\)

Для х из промежутка \( - 3 \leqslant x \leqslant 0\) имеем:

\(\begin{gathered} \sqrt {x + 3} \geqslant 0; \\ \sqrt[4]{{9 - x}} \geqslant \sqrt[4]{9}; \\ \sqrt[4]{9} = \sqrt 3 . \\ \end{gathered} \)

Следовательно, \(\sqrt {x + 3} + \sqrt[4]{{9 - x}} \geqslant \sqrt 3 \) на этом промежутке, поэтому неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит \(0 \leqslant x \leqslant 9\), тогда:

\(\begin{gathered} \sqrt {x + 3} \geqslant \sqrt 3 ; \\ \sqrt[4]{{9 - x}} \geqslant 0. \\ \end{gathered} \)

Следовательно, \(\sqrt {x + 3} + \sqrt[4]{{9 - x}} \geqslant \sqrt 3 \) для таких x, и, значит, на этом промежутке неравенство также не имеет решений.

Итак, неравенство решений не имеет.

Использование ограниченности функции. При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует такое число С, что для любого \(x \in D\) выполняется неравенство f(x)\( \leqslant \)C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.

Если существует такое число с, что для любого выполняется неравенство f(x) ≥с, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y=f(x) при лежит в полосе с\( \leqslant \)f(x)\( \leqslant \)C.

Пример

Решите уравнение \(\sin ({x^3} + 2{x^2} + 1) = {x^2} + 2x + 2\)

Решение.

Для любого действительного числа х имеем \(\sin ({x^3} + 2{x^2} + 1) \leqslant 1,\)\({x^2} + 2x + 2 = {(x + 1)^2} + 1 \geqslant 1.\)

Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при х=-1.

При х=-1 имеем:

\(\begin{gathered} {x^2} + 2x + 2 = 1; \\ \sin ( - 1 + 2 + 1) = \sin 2 \ne 1; \\ \end{gathered} \)

т.е. уравнение корней не имеет.