Десятичные логарифмы
Среди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число a=10. Логарифмы по такому основанию называются десятичными и имеют специальное обозначение: log₁₀x=lgx .
Особое положение десятичных логарифмов связано с использованием десятичной системы счисления. Если мы запишем положительное число x в стандартной форме, т. е. в виде \(x = {x_0} \cdot {10^k},\) где \(1 \leqslant x \leqslant 10,\) то получим, что:

\(\lg x = \lg {x_0} + \lg {10^k} = \lg {x_0} + k.\)

Но \(\lg {x_0},\) если \({x_0}\) лежит в указанном интервале, является положительным числом, меньшим 1. Это означает, что мы представили \(\lg x\) как сумму целого числа и положительной дроби, меньшей единицы, т. е. k – это целая часть десятичного логарифма числа x. По десятичной записи числа x мы сразу можем приблизительно определить его десятичный логарифм.
В частности, десятичный логарифм целого числа, записанного k десятичными знаками, лежит в пределах от \(k - 1\) до \(k\).

Натуральные логарифмы, число e

Есть одно основание, которое в расчетах используется не реже, чем число 10. Это знаменитое число e, введенное Эйлером. Это число не является рациональным, лежит между 2 и 3, и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .

Логарифмы по этому основанию называются натуральными и обозначаются с помощью знака

\(\ln :lo{g_e}x = \ln x.\)

С помощью степени с произвольным действительным показателем мы определим показательную функцию \(y = {a^x}.\) Показательная функция при \(a > 1\) растет очень быстро, быстрее любой степени. Можно определить скорость роста этой функции аналогично тому, как в физике, исходя из функции, задающей положение y точки в момент времени x, определяют ее мгновенную скорость. Оказывается, что показательная функция растет так быстро, что скорость ее роста пропорциональна значению самой этой функции. Этот коэффициент зависит от а и участвует во многих расчетах. Число e – это такое число, что скорость роста показательной функции с основанием e просто равна значению этой функции, т. е. коэффициент пропорциональности, о котором шла речь выше, равен единице, что, конечно, сильно облегчает расчеты.
Связь между десятичными и натуральными логарифмами осуществляется с помощью модуля перехода k:

\(\ln x = \frac{{\lg x}}{{\lg e}} = k \cdot \lg x,\)

где \(\lg e \approx 0,434,\)

\(k = \frac{1}{{\lg e}} = \ln 10 \approx 2,303.\)