Прямоугольный треугольник

Метрические соотношения

Соотношения между сторонами и углами

\(sinA=\frac{a}{c},cosA=\frac{b}{c},tgA\frac{a}{b},ctgA\frac{b}{a}.\)

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R)окружностей

\(R = \frac{c}{2} = m,r = \frac{{a + b - c}}{2}.\)

(m - медиана, проведённая из вершины прямого угла)

Формулы площади

\(S=\frac{1}{2}ab\)

Произвольный треугольник

Определение вида треугольника по его сторонам

1. Если \(c^2<a^2+b^2,\) то треугольник остроугольный.


2. Если \(c^2=a^2+b^2,\) то треугольник прямоугольный.


3. Если \(c^2>a^2+b^2,\) то треугольник тупоугольный.

(c – наибольшая сторона)

Соотношения между сторонами и углами

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).
3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и, наоборот,
   против большего угла лежит большая сторона.
4. \(a^2=b^2+c^2-2bccosA\) (теорема косинусов).
5. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) ((теорема косинусов).).

Свойства медиан

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
4. Если m – медиана, проведённая к стороне с, то

   \(m = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + 2b_{}^2 - {c^2}} \)

 Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной(R) окружностей

\(R = \frac{a}{{2\sin A}},R = \frac{{abc}}{{4S}},r = \frac{s}{p}\)

Пропорциональные площади треугольников

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.


2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.


3. Если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию.


4. Если два треугольника имеют общую высоту (или равные высоты), то отношение их площадей равно отношению оснований.