Функция y=f(x), определенная на множестве X, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция f(x) ограничена сверху, если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\)

· Функция y=f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть если существует такая постоянная М, что для каждого \(x \in X\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant M.\) 

Например, таковыми являются показательные функции, функции \(y = {x^{2n}};y = \sqrt x .\)

График функции \(y = {x^2}\). Функция ограничена снизу значением y=0.

График функции \(y = \sqrt x \). Функция ограничена снизу значением y=0.

· Функция f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

Примерами функций, ограниченных на всей числовой прямой, являются функции y=sin x, y=cos x.

График функции \(y = \sin x\). Функция ограничена снизу значением y=-1 и сверху значением y=1.

 При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности функций часто играет определяющую роль. Например:

а) если для всех х из некоторого множества Х справедливы неравенства \(f(x) > M\) и \(g(x) < M\), где М - некоторое число, то на множестве Х уравнение \(f(x) = g(x)\)и неравенство \(f(x) < g(x)\) решений не имеют;

б) если для всех х из некоторого множества Х справедливы неравенства \(f(x) \geqslant M\)и \(g(x) \leqslant M\), где М - некоторое число, то на множестве Х уравнение \(f(x) = g(x)\)равносильно системе:

\(\left\{ \begin{gathered} f(x) = M; \\ g(x) = M. \\ \end{gathered} \right.\)

Рассмотрим пример применения данных выводов.

Решите уравнение:

\({\cos ^4}(2\sin x) = 1 + 5{\lg ^2}({x^2} + x + 1)\)

Решение: Функции, записанные в левой и правой частях уравнения, определены при всех действительных значениях х. Кроме того, для любых х верно:

\(\begin{gathered} {\cos ^4}(2\sin x) \leqslant 1; \\ 1 + 5{\lg ^2}({x^2} + x + 1) \geqslant 1. \\ \end{gathered} \)

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

\(\left\{ \begin{gathered} {\cos ^4}(2\sin x) = 1; \\ 1 + 5{\lg ^2}({x^2} + x + 1) = 1. \\ \end{gathered} \right.\)

Решения второго уравнения системы есть х=0 и х=-1. Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только х=0, которое, следовательно, является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: х=0.