Из условия  \(tg\left ( \alpha -\frac{5\pi }{4} \right )=-4\) , найдём значение  \(tg\alpha \) : \(tg\left ( \alpha -\frac{5\pi }{4} \right )=\frac{tg\alpha -tg\frac{5\pi }{4}}{1+tg\alpha tg\frac{5\pi }{4}}=\frac{tg\alpha -1}{1+tg\alpha }\), следовательно, \(\frac{tg\alpha -1}{1+tg\alpha }=-4\Rightarrow tg\alpha -1=-4-4tg\alpha \Rightarrow tg\alpha =-\frac{3}{5}\).

Тогда  \(ctg2\alpha =\frac{1}{tg2\alpha }=\frac{1-tg^{2}\alpha }{2tg\alpha }\) . Учитывая, что \(tg\alpha =-\frac{3}{5}\) окончательно получаем

\(ctg2\alpha =\frac{1-\frac{9}{25}}{-\frac{6}{5}}=-\frac{16}{30}=-\frac{8}{15}\).