Найдём координаты вектора  \(\vec{a}+k\vec{b}=\left \{ -3;4 \right \}+k\left \{ 4;2 \right \}=\left \{ -3+4k;4+2k \right \}\). Так как вектор  \(\vec{a}+k\vec{b}\) по условию перпендикулярен вектору  \(\vec{c}\), то их скалярное произведение равно нулю, т.е. \(\left ( \vec{a}+k\vec{b} ,\vec{c}\right )=0\) . В результате получим уравнение

\((-3+4k)\cdot (-36)+39\cdot (4+2k)=0\Rightarrow -11k=-44\Rightarrow k=4\) .

При решении задачи было использовано формула, которая выражает скалярное произведение векторов через их координаты : если  \(\vec{a}\left \{ a_{1};a_{2} \right \},\vec{b}\left \{ b_{1};b_{2} \right \}\), то

\(\left ( \vec{a},\vec{b} \right )=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}\).