Возведём обе части уравнения в квадрат: 

$\left ( \sqrt{128-x^{2}} \right )^{2}=(-x)^{2}\Rightarrow 128-x^{2}=x^{2}$ .

Откуда  $2x^{2}=128\Rightarrow x^{2}=64\Rightarrow x_{1,2}=\pm 8$ .

При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, поэтому сделаем проверку.

$x_{1}=-8 : \sqrt{128-(-8)^{2}}=-(-8)\Rightarrow 8=8$ ,следовательно ,$x_{1}=-8$ является  корнем уравнения;

 $x_{2}=8 : \sqrt{128-8^{2}} =-8\Rightarrow 8\neq -8$ , следовательно ,  $x_{2}=8$ не является корнем

уравнения.

Таким образом уравнение имеет один корень  $x=-8$ .