Найдём ОДЗ уравнения  \(\left\{\begin{matrix}x-7>0,\\ x+15>0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x>7,\\ x>-15\end{matrix}\right.\Rightarrow x>7\) .

Перенесём выражение из правой части уравнения в левую и вынесем общий множитель:

\(2\log _{11}(x-7)-\log _{5}(x+15)\cdot \log _{11}(x-7)=0\Rightarrow \log _{11}(x-7)\cdot \left ( 2-\log _{5}(x+15) \right )=0\).

Это уравнение равносильно совокупности дву уравнений

1) \(\log _{11}(x-7)=0\) , откуда  \(x-7=11^{0}\Rightarrow x-7=1\Rightarrow x=8\) .

2) \(2-\log _{5}(x+15)=0\), откуда  \(\log _{5}(x+15)=2\Rightarrow x+15=5^{2}\Rightarrow x+15=25\Rightarrow x=10\) .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Сумма корней равна 8+10=18.