Найдём ОДЗ уравнения : \(3-x^{2}\geq 0\Rightarrow \left ( \sqrt{3}- x\right )\left ( \sqrt{3}+x \right )\geq 0\Rightarrow x\in [-\sqrt{3};\sqrt{3}]\).

Уравнение  \(\cos \pi x\cdot \sqrt{3-x^{2}}=0\) равносильно совокупности двух уравнений  \(\cos \pi x=0\)  и

\(\sqrt{3-x^{2}}=0\). Найдём корни этих двух уравнений

\(\cos \pi x=0\Rightarrow \pi x=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{1}{2}+n,n\in \mathbb{Z}\);

\(\sqrt{3-x^{2}}=0\Rightarrow 3-x^{2}=0\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{3}\).

ОДЗ удовлетворяют следующие корни:

\(x_{1}=-\sqrt{3},x_{2}=\sqrt{3},x_{3}=\frac{1}{2},x_{4}=\frac{3}{2},x_{5}=-\frac{1}{2},x_{6}=-\frac{3}{2}\).