Раскроем скобки в левой части неравенства, перенесём выражение из правой части в левую и приведём подобные:

 \(\left ( x+5 \right )^{2}\leq 25-x^{2}\Rightarrow x^{2}+10x+25\leq 25-x^{2}\Rightarrow 2x^{2}+10x\leq 0\) .

Решим полученное квадратное неравенство.

\(2x^{2}+10x=0\Rightarrow 2x(x+5)=0\Rightarrow x_{1,2}=0;-5\) .

Числовая ось в результате разбивается на три интервала : \((-\infty ;-5], [-5;0], [0;+\infty )\) .

Определим знак функции  \(f(x)=2x^{2}+10x\) в каждом из полученных интервалов:

 \(x=-6\in (-\infty ;-5], f(-6)=12> 0\) ;

\(x=-1\in [-5;0],f(-1)=-8< 0\) ;

\(x=1\in [0;+\infty ), f(1)=12> 0\).

Таким образом, решением неравенства являеся отрезок [-5;0], который содержит 6 целых чисел : -5; -4; -3; -2; -1 и 0. Ответ 6.