Решим квадратное неравенство :

\(x^{2}-6x+9>0\Rightarrow (x-3)^{2}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;3)\cup (3;+\infty )\).

Целочисленные решения неравенства, принадлежащие отрезку [1;6] это  x=1, x=2, x=4, x=5 и x=6.

Количество целочисленных решений неравенства, принадлежащих отрезку [1;6] равно 5.