Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдём корни числителя : \((x+6)^{2}(1-x)=0\Rightarrow x=-6,x=1\). Знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства обращается в нуль в точке  \(x=-3\). Точки \(x=-6,x=-3,x=1\)

разбивают числовую ось на 4 интервала :  \(1) (-\infty ;-6), 2) (-6;-3), 3) (-3;1) 4) (1;+\infty )\).

Определим знак дроби  \(f(x)=\frac{(x+6)^{2}(1-x)}{x+3}\) в каждом из четырёх интервалов.

1)  \(x=-7\in (-\infty ;-6)\Rightarrow f(-7)=-2< 0\);

2)  \(x=-5\in (-6;-3)\Rightarrow f(-5)=-3< 0\);

3)  \(x=0\in (-3;1)\Rightarrow f(0)=12> 0\);

4)  \(x=2\in (1;+\infty )\Rightarrow f(2)=-\frac{64}{5}< 0\).

Таким образом, решением неравенства будет являться полуинтервал  \((-3;1]\) и \(x=-6\). Найдём сумму целых решений неравенства  : \((-6)+(-2)+(-1)+0+1=-8\).