Для решения неравенства используем метод интервалов . Найдём нули числителя и знаменателя:

\((x+2)(x-6)^{2}=0\Rightarrow x_{1}=-2,x_{2}=6\);

\(x-4=0\Rightarrow x=4\).

В результате числовая  ось разбивается на четыре числовых промежутка. Определим знак функции  \(f(x)=\frac{(x+2)(x-6)^{2}}{x-4}\) в каждом из них.

1) \(x=-3\in (-\infty ;-2],f(-3)=\frac{36}{7}>0;\)

2)  \(x=0\in [-2;4),f(0)=-36<0;\)

3)  \(x=5\in (4;6],f(5)=7>0;\)

4) \(x=7\in [6;+\infty ),f(7)=3>0.\)

Таким образом, решением неравенства является объединение полуинтервала \([-2;4)\)

и  \(x = 6\). Сумма целых решений неравенства будет равна \((-2)+(-1)+0+1+2+3+6=9\).