Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: \({\rm E} = \frac{{L{I^2}}}{2}\)

Энергия магнитного поля, создаваемого контуром с током, равна половине произведения индуктивности контура на квадрат силы тока в нем.

Доказательство теоремы. (Вывод формулы): по определению энергии магнитного поля она равна работе, затраченной на создание этого поля. По закону сохранения энергии энергия магнитного поля будет равна работе электрического поля, произведенной ЭДС самоиндукции по перенесению заряда в контуре за то время, пока она (ЭДС самоиндукции) действовала. Из формулы для ЭДС самоиндукции \(\varepsilon = - \frac{{L\Delta I}}{{\Delta t}}\) следует, что ЭДС действует, пока в цепи изменяется ток. В момент включения электрической цепи ток равнялся нулю, затем ток достигает расчетного значения и остается постоянным.

За небольшой промежуток времени Δt_i работа, совершенная ЭДС самоиндукции, из определения ЭДС будет равна 

ΔА_i=ε∙ΔQ_i=\( - \frac{{L\Delta {I_i}}}{{\Delta {t_i}}}{I_i}\Delta {t_i}\),

здесь \(\varepsilon = - \frac{{L\Delta {I_i}}}{{\Delta {t_i}}}\)

по закону для ЭДС самоиндукции, а ΔQ_i=\({I_i}\Delta {t_i}\) из определения силы тока. Сокращая Δt_i, получим \(\Delta {{\rm A}_i} = \) \( - L \cdot {I_i} \cdot \Delta I\)

(Минус, по правилу Ленца, указывает лишь на направление тока самоиндукции). Найдем модуль энергии магнитного поля. Для этого нам понадобится просуммировать все работы, совершенные за то время, пока ток нарастал от нуля до максимального значения I. 

А = \(\sum\limits_i {} L \cdot {I_i} \cdot \Delta I\) = \(\frac{{L{I^2}}}{2}\). Такие суммы Вы научитесь находить на уроке математики в одиннадцатом классе. Такие суммы называются интегралами.

Итак, \({\rm E} = \frac{{L{I^2}}}{2}\). Теорема доказана.

Условия выполнения: выполняется в случаях, когда магнитная проницаемость среды не зависит от величины внешнего магнитного поля: \(\mu = \frac{{\rm B}}{{{{\rm B}_0}}} = {\rm{const}}\)(Здесь В₀ – индукция поля, созданного в вакууме, а В - индукция поля, созданного теми же источниками в среде). Для ферромагнитных веществ, когда \(\mu = \frac{{\rm B}}{{{{\rm B}_0}}} \ne {\rm{const}}\) , эта формула не выполняется.