Функция, непрерывная на отрезке [a;b] принимает свои наибольшее и наменьшее значения, либо на концах отрезка, либо внутри него, в точках, где производная равна нулю. Найдём производную функции: 

\(y{}'=\left ( (x-12)e^{x-11} \right ){}'=(x-12){}'\cdot e^{x-11}+(x-12)\cdot \left ( e^{x-11} \right ){}'=e^{x-11}+(x-12)e^{x-11}\).

Приравняем производную к нулю и найдём корни полученного уравнения:

\(e^{x-11}+e^{x-11}(x-12)=0\Rightarrow e^{x-11}(x-11)=0\Rightarrow e^{x-11}\neq 0,x-11=0\Rightarrow x=11\),  \(x=11\in [10;12]\).

Вычислим значения функции в точках x=10, x=11, x=12:

\(y(10)=-2\cdot e^{-1};y(11)=-1;y(12)==0\).

Наименьшее значение функции равно -1.