Для нахождения области определения функции \(y=\frac{\sqrt{2x-x^{2}+8}}{\sqrt{x+1}}\) необходимо решить систему неравенств  \(\left\{\begin{matrix}2x-x^{2}+8 &\geq 0, \\ x+1>0 & \end{matrix}\right.\). Решим первое неравенство системы :

\(2x-x^{2}+8\geq 0\Rightarrow x^{2}-2x-8\leq 0\Rightarrow (x+2)(x-4)\leq 0\Rightarrow x\in [-2;4]\). Решим второе неравенство системы: \(x+1> 0\Rightarrow x> -1\Rightarrow x\in (-1;+\infty )\). Пересечением решений двух неравенств будет  полуинтервал \((-1;4]\).