Рассмотрим основные методы решения систем уравнений

1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

\(\left\{ \begin{gathered} 2x + y = 2; \\ 6x + 2y = 3. \\ \end{gathered} \right.\)

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему:

\(\left\{ \begin{gathered} y = 2 - 2x; \\ 6x + 2(2 - 2x) = 3, \\ \end{gathered} \right.\)

равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

\(\left\{ \begin{gathered} y = 2 - 2x; \\ 2x = - 1. \\ \end{gathered} \right.\)

Из второго уравнения находим: \(x = - \frac{1}{2}\). Подставив это значение в уравнение \(y = 2 - 2x,\) получим \(y = 3.\) Следовательно, решением данной системы является пара чисел \(\left( { - \frac{1}{2};3} \right).\)

2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

\(\left\{ \begin{gathered} 3x + 4y = 5; \\ x - 2y = 4. \\ \end{gathered} \right.\)

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему:

\(\left\{ \begin{gathered} 3x + 4y = 5; \\ 2x - 4y = 8, \\ \end{gathered} \right.\)

равносильную исходной.

Сложив два уравнения этой системы, придем к системе:

\(\left\{ \begin{gathered} 3x + 4y = 5; \\ 3x + 4y + 2x - 4y = 5 + 8. \\ \end{gathered} \right.\)

После приведения подобных членов данная система примет вид:

\(\left\{ \begin{gathered} 3x + 4y = 5; \\ 5x = 13. \\ \end{gathered} \right.\)

Из второго уравнения находим

\(x = \frac{{13}}{5}.\)

Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим:

\(3 \cdot \frac{{13}}{5} + 4y = 5,\)

откуда \(y = - \frac{7}{{10}}.\)

Следовательно, решением данной системы является пара чисел\(\left( {\frac{{13}}{5};\frac{7}{{10}}} \right).\)

3.Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

\(\left\{ \begin{gathered} xy + x + y = 5; \\ {x^2}y - x{y^2} = 6. \\ \end{gathered} \right.\)

Решение. Запишем данную систему иначе:

\(\left\{ \begin{gathered} xy + x + y = 5; \\ xy(x + y) = 6. \\ \end{gathered} \right.\)

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему:

\(\left\{ \begin{gathered} u + v = 5; \\ u \cdot v = 6. \\ \end{gathered} \right.\)

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему:

\(\left\{ \begin{gathered} u = 5 - v; \\ \left( {5 - v} \right) \cdot v = 6, \\ \end{gathered} \right.\)

т.е.\(\left\{ \begin{gathered} u = 5 - v; \\ {v^2} - 5v + 6 = 0. \\ \end{gathered} \right.\)

Из второго уравнение системы находим v1 = 2, v2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 – v, получим u1 = 3,
u2 = 2. Тогда имеем две системы:

\(\left\{ \begin{gathered} x + y = 3; \\ xy = 2; \\ \end{gathered} \right.\)

\(\left\{ \begin{gathered} x + y = 2; \\ xy = 3. \\ \end{gathered} \right.\)

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.