1. Вычислите:

\({\sin ^2}\frac{{13\pi }}{{47}} + {\cos ^2}\frac{{13\pi }}{{47}}.\)

Решение:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\\\alpha \in R,\\{\sin ^2}\frac{{13\pi }}{{47}} + {\cos ^2}\frac{{13\pi }}{{47}} = 1.\end{array}\)

2. Найдите значение \(cos \alpha\) если:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha = 0.8,\\\pi \le \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}.\end{array}\)

Решение:

\(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - 0.64} = - 0.6.\)

3. Найдите значение \(ctg \alpha\) если: \(\cos \alpha = \frac{1}{5},\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\)

Решение:

\(ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow ctg\alpha = - \frac{{1/5}}{{2\sqrt 6 /5}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}.\)

4. Упростить выражение:

\({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha + {\cos ^2}\alpha .\)

Решение:

\(\begin{array}{l}\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) \cdot \left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) + {\cos ^2}\alpha = \\ = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha .\end{array}\)

5. Найти значение выражения:

\(k = \left| {\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3} + \sqrt 2 } \right)} \right| + \left| {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 2 - \frac{{5\pi }}{6}} \right|.\)

Решение:

Так как \(1.4 < \sqrt 2 < 1.5,3.1 < \pi < 3.2,\) то:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 < \frac{{3.2}}{3} - 1.4 = - \frac{1}{3} < 0;\\\sqrt 2 - \frac{{5\pi }}{6} < 1.5 - \frac{{15.5}}{6} = - \frac{{13}}{{12}} < 0.\end{array} \right.\)

Отсюда получим:

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 - \frac{\pi }{3};\\\left| {\sqrt 2 - \frac{{5\pi }}{6}} \right| = \frac{{5\pi }}{6} - \sqrt 2 .\end{array}\)

Преобразуем выражение \(\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3} + \sqrt 3 } \right)\) по формулам приведения:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{8\pi }}{3} + \sqrt 3 } \right) = \cos \left( {3\pi - \left( {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right)} \right) = \\ - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right) = - \cos \left( {\sqrt 2 - \frac{\pi }{3}} \right).\end{array}\)

Так как \(\left( {\sqrt 2 - \frac{\pi }{3}} \right) \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) то \(\cos \left( {\sqrt 2 - \frac{\pi }{3}} \right) > 0.\) Тогда:

\(\begin{array}{l}k = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right) + \sqrt 2 - \frac{\pi }{3} + \frac{{5\pi }}{6} - \sqrt 2 = \\ = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \sqrt 2 } \right) + \frac{\pi }{3}.\end{array}\)