Мгновенная скорость – это скорость точки в данный момент времени в данной точке траектории. Для определения мгновенной скорости необходимо найти перемещение точки за бесконечно малый промежуток времени \(\Delta t \to 0\). При \(\Delta t \to 0\) средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью \(\vec v\)

\(\vec v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \vec r}}{{\Delta t}} = \frac{{{\rm{d}}\vec r}}{{{\rm{d}}t}}\). (1.10)

Таким образом, мгновенная скорость \(\vec v\) есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Вектор скорости \(\vec v\) направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Мгновенная скорость – это вектор, поэтому

\(\vec v = \frac{{{\rm{d}}\vec r}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}\vec i + \frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}}\vec j + \frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}}\vec k\), (1.11)

где \(\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}} = {v_x};\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = {v_y};\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{{{\rm{d}}z}}{{{\rm{d}}t}} = {v_z}}\end{array}}\end{array}\) – проекции вектора скорости на оси координат;

\(\left| v \right| = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} .\) (1.12)

Так как модуль бесконечно малого перемещения \(\left| {{\rm{d}}\vec r} \right|\) можно принять равным бесконечно малой длине пути (1.5), то модуль мгновенной скорости

\(v = \left| {\vec v} \right| = \frac{{{\rm{d}}S}}{{{\rm{d}}t}}\). (1.13)

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

Средняя скорость пути (средняя путевая скорость) – это физическая величина, равная отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

\(\left\langle v \right\rangle = \frac{{\Delta S}}{{\Delta t}}\). (1.14)

Средняя путевая скорость – величина скалярная, определяющая, какое расстояние проходит точка в единицу времени по траектории.