Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: \(\varepsilon = - NBS\omega \sin (\omega t)\)

При равномерном вращении многовитковой рамки с одинаковыми площадями витков в однородном магнитном поле в каждом витке этой рамки возникает ЭДС индукции, так что суммарная ЭДС численно равна произведению числа витков рамки N, индукции магнитного поля В, площади одного витка рамки S, угловой скорости вращения рамки ω и синуса угла поворота рамки, отсчитанного от положения, когда нормаль рамки параллельна линиям индукции.

Доказательство теоремы. Вывод формулы: рассмотрим случай, когда в начальный момент времени плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля и рамка вращается вокруг оси, перпендикулярной линиям поля и проходящей через середины противоположных сторон рамки.

Докажем теорему для одного витка, а затем результат необходимо будет умножить на N, поскольку в каждом витке по закону электромагнитной индукции Фарадея будет возникать одинаковая ЭДС (все витки будут находиться в одинаковых условиях возникновения ЭДС).

Итак, по закону Фарадея для одного витка \(\varepsilon = - \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}.\)

По условию рамка вращается равномерно, угловая скорость рамки w = const, угол a зависит от времени по линейному закону a = wt, следовательно: по определению магнитного потока Ф=BScosa= BScos(wt). Здесь B – магнитная индукция, S – площадь витка. Подставляя значения потока в закон Фарадея, получим

\(\varepsilon = - \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = - \frac{{BS{\rm{cos}}\left( {\omega {t_2}} \right) - BS{\rm{cos}}\left( {\omega {t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\)

Когда на уроке математике вы пройдете тему «Производные», вы докажете, что, если разность t₂–t₁ достаточно мала, то \(\frac{{{\rm{cos}}\omega {t_2} - {\rm{cos}}\omega {t_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = {\rm{sin}}\omega t\). Заменяя последнее соотношение, получим искомую формулу \(\varepsilon = - {\rm B}S\omega \sin (\omega t)\). Такая ЭДС индукции возникает в каждом витке. Суммарная ЭДС будет равна: \(\varepsilon = - NBS\omega \sin (\omega t){\rm{ }}\). Теорема доказана.

Условия выполнения: выполняется для короткой и плотно намотанной многовитковой рамки. Все витки должны быть плоскими, иметь одинаковые площади и одинаковые углы между своими нормалями и линиями магнитной индукции.