Решите самостоятельно задачи:

1. Какие из данных чисел при любом n делятся на 2?

   \(n(2n-1)(2n+1);\) \(n(2n^2+1);\) \(n^2+3n;\) \(n^3+11n.\)

2. Докажите, что число \(4\cdot 10^{400}+1\) является числом составным.


3. Докажите, что число \(2^{33}+1\) ясоставное.


4. На какую цифру оканчивается число \(4^{502}\)?


5. Четным или нечетным является число \(5^{501}+4^{502}+3^{500}\)?


6. Докажите, что число \(2^{2^n}+1\) для \(n\in N (n\geq4)\) оканчивается цифрой 7.


7. На какую цифру оканчивается сумма всех двузначных чисел?


8. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению \(x+xy=6\).


9. Решить в целых положительных числах уравнение

   \(x^2-xy+2x-3y=11.\)



10. Решить в целых положительных числах уравнение

    \(2x^2+5xy-12y^2=28.\)

11. Решить в целых положительных числах систему уравнений

    \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 5y + z = 100,\\x + y + z = 20.\end{array} \right.\)

12. Найдите пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное равно 105.
13. Найдите наибольшее трехзначное число, которое при делении на 11 дает в остатке 2, а при делении на 5 имеет остаток равный 3.
14. Найдите пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное равно 105.

    \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} = 1.\)

15. При каких значениях параметра a существуют четыре натуральных числа x, y, u, b, удовлетворяющих соответственно уравнениям

    \(\begin{array}{l}xy(40 + xy) = (150 - a)(a - 90),\\a(8{u^2} + 18{b^2} - a) = (4{u^2} - 9{b^2}).\end{array}\)