Пример 3. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины.

Рассмотрим пружину, один конец которой закреплен, а другой может перемещаться горизонтально под действием внешней силы. Направим координатную ось x параллельно оси пружины и выберем начало отсчета координаты x (x₀ = 0) в положении незакрепленного конца
недеформированной пружины (точка О), рис. 4.14.

Рис. 4.14

Когда пружина не деформирована, тело (материальная точка) массой m находится в точке с координатой x = 0. Примем точку О за начало отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия материальной точки (тела массой m) в произвольном положении N с координатой x равна работе А_NO упругой силы, совершаемой при перемещении тела из точки N в точку О.

Вычислим работу упругой силы при перемещении тела из точки N в точку О:

\(A = \int\limits_N^O {( - k\vec r{\rm{d}}\vec r)} = - \int\limits_{{x_{}}}^{{x_0} = 0} {kx{\rm{d}}x} = \frac{k}{2}(x_{}^2 - x_0^2) = \frac{{k{x^2}}}{2}\).

Как следует из полученного выражения, материальная точка, находящаяся на конце деформированной пружины, обладает потенциальной энергией \({E_{\rm{п}}} = \frac{1}{2}k{x^2}\), если за начало отсчета потенциальной энергии принять координату x₀ = 0 недеформированной пружины.