Следствием действия силы на материальную точку является приобретение материальной точкой ускорения: \(m\vec a = \vec F\) или \(m\frac{{{\rm{d}}\vec v}}{{{\rm{d}}t}} = \vec F\), где \(\vec F\) – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Пусть частица массы m движется под действием некоторой силы \(\vec F\). Найдем элементарную работу этой силы на перемещении \({\rm{d}}\vec r\):

\(\delta A = \left( {\vec F{\rm{ d}}\vec r} \right) = \left( {m{\rm{ }}\vec a{\rm{ d}}\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\leftarrow$}} \over r} } \right) = m\left( {\frac{{{\rm{d}}\vec v}}{{{\rm{d}}t}}{\rm{d}}\vec r} \right) = m{\rm{ }}\left( {\vec v{\rm{ d}}\vec v} \right)\), (4.15)

т.к. \(\vec F = m{\rm{ }} \cdot \vec a{\rm{ }}{\rm{, }}\vec a = \frac{{{\rm{d}}\vec v}}{{{\rm{d}}t}},{\rm{ }}\vec v{\rm{ }} \cdot {\rm{d}}\vec v = {\rm{ }}v \cdot {\rm{d}}v\).

Таким образом, работа этой силы на перемещении \({\rm{d}}\vec r\) равна

\(\delta A = mv{\rm{ d}}v = d\left( {\frac{{m{v^2}}}{2}} \right)\). (4.16)

Если материальная точка перемещается из состояния 1 в состояние 2, то состояние 1 материальной точки характеризуется скоростью \({v_{\rm{1}}}\), а состояние 2 характеризуется скоростью \({v_{\rm{2}}}\). Работа результирующей силы при переходе материальной точки из состояния 1 в состояние 2 равна

\({A_{1 - 2}} = \frac{{mv_2^2}}{2} - \frac{{mv_{\rm{1}}^2}}{2}\). (4.17)

Выражение \({E_{\rm{}}} = \frac{{m{v^{\rm{2}}}}}{{\rm{2}}}\) называется кинетической энергией материальной точки. Кинетическая энергия является скалярной мерой движения.