Как указывалось ранее, при описании динамики вращательного движения момент импульса играет ту же роль, что и импульс при поступательном движении. Момент импульса твердого тела определяется моментом инерции тела относительно оси вращения и угловой скоростью вращения твердого тела: \(\vec L = I\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over \omega } \).

Продифференцируем уравнение это по времени:

\(\frac{{{\rm{d}}\vec L}}{{{\rm{d}}t}} = I\frac{{{\rm{d}}\vec \omega }}{{{\rm{d}}t}} = I\vec \varepsilon = \vec M\), или \(\frac{{{\rm{d}}\vec L}}{{{\rm{d}}t}} = \vec M\). (6.32)

Это уравнение называется уравнением моментов. Из уравнения следует, что причиной изменения момента импульса является момент силы, действующий на твердое тело. Динамика вращательного движения описывается именно этим уравнением. Обратите внимание на аналогичность динамического содержания и структуры уравнения моментов \(\frac{{{\rm{d}}\vec L}}{{{\rm{d}}t}} = \vec M\) и второго закона Ньютона \(\frac{{{\rm{d}}\vec P}}{{{\rm{d}}t}} = \vec F\).

В уравнении моментов речь идет о приращении моментов импульса, во втором законе Ньютона – о приращении импульса. Причиной приращения момента импульса является момент силы, а причиной приращения импульса является сила.

Из уравнения моментов следует, что под действием момента силы \(\vec M\) твердое тело за элементарный промежуток времени dt получает элементарное приращение момента импульса: \({\rm{d}}\vec L = \vec M \cdot {\rm{d}}t\). За конечный промежуток времени \(\Delta t = {t_2} - {t_1}\) момент импульса твердого тела получает конечное приращение, которое можно определить: \({\vec L_2} - {\vec L_1} = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\vec M \cdot {\rm{d}}t} \). Уравнения \({\rm{d}}\vec L = \vec M \cdot {\rm{d}}t\) и \({\vec L_2} - {\vec L_1} = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\vec M \cdot {\rm{d}}t} \) называются теоремами об изменении момента импульса в дифференциальной и интегральной форме соответственно.

Из теоремы об изменении момента импульса следует закон сохранения момента импульса твердого тела: если момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то относительно этой оси момент импульса со временем не изменяется (сохраняется).

Докажем это утверждение. Действительно, если момент внешних сил, действующих на твердое тело относительно некоторой оси, равен нулю: \(\vec M = 0\), то изменение момента импульса относительно этой же оси равно нулю:\(\frac{{{\rm{d}}\vec L}}{{{\rm{d}}t}} = 0\), откуда

\(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over L} = {\rm{const}}\). (6.33)

Выражение (6.33) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.