Алгебраическим уравнением с одной переменной называется равенство \(f(x)=g(x)\) , где \(f(x),g(x)\) – алгебраические функции.
 Областью допустимых значений переменной x уравнения \(f(x)=g(x)\) называется множество значений x, при которых имеют смысл \(f(x)\) и \(g(x)\). Следовательно, областью допустимых значений переменной x является пересечение областей определения функций \(f(x)\) и \(g(x)\).
 Так, областью допустимых значений переменной x для уравнения \(\sqrt{x+4}=\sqrt{-x}\) является пересечение областей определения функций \(f(x)=\sqrt{x+4}\) и \(g(x)=\sqrt{-x}\) , т.е. множество, определяемое системой неравенств:

\({x+4}\geq0;-x\geq0;\)

т.е. \(x\in[-4;0].\)

Корнем (решением) уравнения называется значение переменной x, обращающее уравнение в верное числовое равенство.
Например, корнем уравнения 3x + 12 = 0 является число x = –4, поскольку 3 · (–4) = 12.
 Уравнение на множестве M может иметь одно или несколько, или бесконечное множество решений, или не иметь их вообще. В последнем случае говорят, что множество решений пусто, или уравнение неразрешимо на этом множестве.
 Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать их отсутствие. Процесс решения уравнения связан с преобразованиями, последовательно заменяющими одно уравнение другим до тех пор, пока не получится простое уравнение, алгоритм решения которого известен. При этом используются два вида преобразований:
 переход к уравнению, равносильному данному, и
 переход к уравнению, являющемуся его следствием.
 Два уравнения \(f(x)=g(x)\) и \(f_1(x)=g_1(x),\), определённые на множестве M, называются равносильными, или эквивалентными, на M, если их решения совпадают на этом множестве или они оба не имеют на нём решения. Обозначается равносильность уравнений символически следующим образом:

\(f(x)=g(x)\) \(\iff\)\(f_1(x)=g_1(x),x\in M.\)

К преобразованиям, сводящим уравнение к равносильному, относятся:

1. перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;
2. умножение (деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число или выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной;
3. возведение обеих частей уравнения в нечётную степень;
4. извлечение из обеих частей уравнения корня нечётной степени;
5. если \(f(x)\) и \(g(x)\) неотрицательны на множестве M, то уравнение: \(f(x)=g(x) \iff (f(x))^n=(g(x))^n,n\in N.\) 

Уравнение \(f_1(x)=g_1(x)\) называется следствием уравнения \(f(x)=g(x)\), если при переходе от уравнения \(f(x)=g(x)\) к уравнению \(f_1(x)=g_1(x)\) не происходит потери корней, т.е. если все корни уравнения \(f_1(x)=g_1(x)\) являются корнями уравнения \(f(x)=g(x)\). Но уравнение \(f_1(x)=g_1(x)\) может иметь решений больше, чем уравнение \(f(x)=g(x)\):

\(f(x)=g(x)\implies \)\(f_1(x)=g_1(x).\)

Например, уравнение \(\sqrt{x-1}=x-3\) имеет корень x = 5, а уравнение \(x^2-x+10=0\) имеет корни x = 2, x = 5. Поэтому второе уравнение является следствием первого, что можно коротко записать:

\(\sqrt{x-1}=x-3 \implies\)\(x^2-x+10=0.\)

Если функция строго монотонна на множестве M, а \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\)– функции, определённые на M со значениями в этом же множестве, тогда уравнение \(f(\alpha(x))=g(\beta(x))\) равносильно уравнению \(\alpha(x)=\beta(x)\) , то есть:

\(\{ f(\alpha (x)) = g(\beta (x))\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha (x) = \beta (x),\\\alpha (x) \in M,\\\beta (x) \in M.\end{array} \right.\)

 Достаточно одного из следующих утверждений: \(\alpha(x)\in M\) или \(\beta(x)\in M\).

Пример. Решите уравнение:

\(arcsin(x^2-80.5)=arcsin(x-8.5).\)

Функция \(arcsinf(x)\) – возрастающая функция, определённая на множестве \(-1\leq f(x)\leq 1.\)Поэтому при \(\alpha(x)=x^2-80.5\) и \(\beta(x)=x-8.5\) рассматриваемое уравнение равносильно системе уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 80.5 = x - 8.5;\\ - 1 \le x - 8.5 \le 1;\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 72 = 0;\\7.5 \le x \le .5;\end{array} \right. \Rightarrow \)

\(x_1=-8;x_2=9;x=9 \in [7.5;9.5].\)