Рассмотрим произвольную точку тела М, которая находится на расстоянии R от оси вращения и вращается с постоянной угловой скоростью \(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over \omega } \) (рис. 2.8). Пусть за время \(\Delta t\) тело повернулось на угол \(\Delta \phi \), а точка прошла путь \(\Delta S\).

Рис. 2.8

Установим связь между линейными характеристиками точки (\(\Delta S,v,a\)) и угловыми характеристиками тела (\(\Delta \phi ,\omega ,\varepsilon \)). Длина пути \(\Delta S\) и угол поворота \(\Delta \phi \) связаны известным соотношением

\(\Delta S = R \cdot \Delta \phi \). (2.10)

Делим обе части равенства на \(\Delta t\) и переходим к пределу

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta S}}{{\Delta t}} = R\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \phi }}{{\Delta t}}\). (2.11)

Отсюда имеем

\(v = \omega \). (2.12)

Формула (2.12) связывает модули линейной и угловой скоростей. Найдем выражение, связывающее векторы \(\vec v\) и \(\vec \omega \). Положение рассматриваемой точки тела будем определять с помощью вектора \(\vec R\), который проведен в данную точку тела перпендикулярно к оси вращения.

Тогда можем записать формулу для линейной скорости как векторное произведение:

\(\vec v = \left[ {\vec \omega \vec R} \right]\). (2.13)

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен \(v = \omega R\sin (\vec \omega \hat R)\), а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от \(\vec \omega \) к \(\vec R\).

Пусть тело вращается неравномерно (рис. 2.9). Тангенциальное ускорение точки

\({a_\tau } = \frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}} = R\frac{{{\rm{d}}\omega }}{{{\rm{d}}t}} = R\varepsilon \). (2.14)

Векторы \({\vec a_\tau },\;\vec R,\;\vec \varepsilon \) взаимно перпендикулярны, поэтому можно записать, что

. (2.15)

Модуль тангенциального ускорения \({a_\tau } = \varepsilon R\sin (\vec \varepsilon \ \vec R{\rm{)}}\).

Рис. 2.9

Нормальное ускорение точки

\({a_n} = \frac{{{v^2}}}{R} = \frac{{{\omega ^2}{R^2}}}{R} = {\omega ^2}R\). (2.16)

Вектор нормального ускорения направлен по радиусу к центру окружности – против вектора \(\vec R\), тогда можно записать

\({\vec a_n} = - {\omega ^2}\vec R\). (2.17)

Формулы (2.14) и (2.16) связывают модули тангенциального и нормального ускорений точки с угловым ускорением \(\varepsilon \) и угловой скоростью \(\omega \) тела.

В заключение сопоставим формулы, которые связывают кинематические характеристики твердого тела (\(\phi ,\omega ,\varepsilon \)) с соответствующими формулами поступательного движения точки.