Пример 4. Уравнение эквипотенциальной поверхности в однородном поле силы тяжести: \({E_{\rm{п}}}(x,y,z) = mgz = {\rm{const}},\quad z = {\rm{const}}\). Эквипотенциальная поверхность в однородном поле силы тяжести – горизонтальные плоскости z= const.

Пример 5. Уравнение эквипотенциальной поверхности в гравитационном поле: \({E_{\rm{п}}}(r) = - \gamma \frac{{Mm}}{r} = {\rm{const}},\quad r = {\rm{const}}\). Эквипотенциальные поверхности в гравитационном поле – это сферические поверхности (сферы r= const).

Вектор силы, действующей на материальную точку, помещенную в потенциальное поле, всегда направлен перпендикулярно эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Докажем это утверждение. Пусть материальная точка совершила бесконечно малое перемещение \({\rm{d}}\vec r\) по эквипотенциальной поверхности. Так как во всех точках эквипотенциальной поверхности потенциальная энергия имеет одинаковое значение, то изменение потенциальной энергии \({\rm{d}}{E_{\rm{п}}} = 0\). Элементарная работа силы \(\vec F\) равна \(\delta A = (\vec F{\rm{d}}\vec r) = - {\rm{d}}{E_{\rm{п}}} = 0\). Отсюда следует, что скалярное произведение \((\vec F{\rm{d}}\vec r) = 0\) или \(\vec F \bot {\rm{d}}\vec r\). Так как \({\rm{d}}\vec r\) принадлежит эквипотенциальной поверхности, то вектор силы \(\vec F\) всегда перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.