Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Если на тело (материальную точку) в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю совокупность сил называют силовым полем. Если силы не зависят от времени, силовое поле называется стационарным. Например, тело массой m, расположенное вблизи поверхности Земли, испытывает действие силы тяжести \(m\vec g\). Величину и направление силы тяжести можно считать приблизительно одинаковыми во всех точках пространства вблизи поверхности Земли. Тело находится в однородном поле силы тяжести.

Пусть взаимодействие между телами осуществляется с помощью силовых полей (например, поле гравитационных сил, поле упругих сил), которые обладают следующим свойством: работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от траектории тела, а зависит только от начального и конечного положения тела. Такие силы называются консервативными. Поле консервативных сил называется консервативным.

Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории тела, то такая сила называется неконсервативной; ее примером является сила трения.

Покажем, что при перемещении тела в консервативном поле работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю (рис. 4.9).

Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории точки между ее начальным 1 и конечным 2 положениями, ни от закона движения материальной точки по траектории: \({A_{1 - a - 2}} = {A_{1 - b - 2}} = {A_{1 - 2}}\), где \({A_{1 - a - 2}}\) и \({A_{1 - b - 2}}\) – работа консервативной сила при перемещении материальной точки из 1 в 2 по траекториям 1–а–2 и 1–b–2. Изменение направления движения материальной точки на противоположное вызывает изменение знака проекции консервативной силы \(\vec F\) на направление перемещения, поэтому знак элементарной работы также изменяется: \(\delta A = (\vec F{\rm{d}}\vec r)\). Следовательно, \({A_{1 - b - 2}} = - {A_{2 - b - 1}}\), поэтому работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории 1–b–2–a–1 равна нулю:

\({A_{1 - b - 2 - a - 1}} = {A_{1 - b - 2}} + {A_{2 - a - 1}} = - {A_{2 - b - 1}} + {A_{2 - a - 1}} = 0\).

Точки 1 и 2, а также участки замкнутой траектории 1–a–2 и 2–b–1 можно выбирать совершенно произвольно. Таким образом, работа консервативной силы на произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю:

\(\oint\limits_L {(\vec F{\rm{d}}\vec r) = 0} \). (4.22)

 В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование производится по замкнутому контуру L.