Пример 1. Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли.

Пусть материальная точка (тело) массой m находится в точке N(x, y, z) однородного поля силы тяжести (рис. 4.12). В качестве начала отсчета потенциальной энергии выберем точку О начала декартовой системы координат. Плоскость xOy совместим с поверхностью Земли.

Рис. 4.12

Потенциальная энергия материальной точки (тела) в точке N поля равна работе силы тяжести, совершаемой при перемещении тела из точки N с координатами x, y, z в точку O с координатами \({x_0} = {y_0} = {z_0} = 0\). Тогда элементарная работа равна

\(\delta A = \left( {m\vec g{\rm{d}}\vec r} \right) = mg\left| {{\rm{d}}\vec r} \right| \cdot \cos \alpha = - mg{\rm{d}}z\),

где \( - {\rm{d}}z = \left| {{\rm{d}}\vec r} \right| \cdot \cos \alpha \).

При перемещении тела из точки N в точку О работа силы тяжести равна

\(A = - \int\limits_z^0 {mg{\rm{d}}z} = - mg(0 - z) = mgz = mgh\).

Работа силы тяжести при падении тела на Землю равна потенциальной энергии

\({E_{\rm{п}}} = mgh\),

если за нуль принята потенциальная энергия тела, лежащего на Земле.