Пропорцией называется равенство двух отношений. Записывают пропорцию так: \(a:b=c:d\) или \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), причем \(cd \neq 0\).

Принято a и d называть крайними членами пропорции;
b и c – средними членами пропорции;
\(\frac{a}{b}\) - первое отношение;
\(\frac{c}{d}\) - второе отношение;
a и c – предыдущие члены пропорции;
b и d – последующие члены.
Пропорция называется верной, если значение её левой части равно значению её правой части.
Основное свойство пропорции:
Пропорция верна тогда и только тогда, когда произведение её крайних членов равно произведению её средних членов.
В самом деле, если \(\frac{a}{b}=k,\) \(\frac{c}{d}=k\), то a = bk и c = dk.
Тогда произведение средних членов bc = bdk и произведение крайних членов ad = bkd, т.е. ad = bc.
Обратно, пусть ad = bc, где ни одно из чисел не равно 0. Разделим обе части равенства на bd, получим: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).

Производными называются пропорции, образованные из членов исходной пропорции

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).

Отметим некоторые из них. Поскольку \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff ad=bc\), то разделив последнее равенство на ab, получаем:

\(\frac{d}{b}=\frac{c}{a}\),

что означает возможность в пропорции переставлять крайние члены, а разделив равенство ad = bc на cd, получаем

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\),

что говорит о возможности перестановки её средних членов. Из исходной пропорции при условии \(a \neq 0,\)\(b \neq 0,\)\(c \neq 0,\)\(d \neq 0,\)

можно получить пропорцию:

\(\frac {\alpha a+\beta b}{\gamma a+ \delta b}\)= \(\frac {\alpha c+\beta d}{\gamma c+ \delta d}\),

где \({\alpha a+\beta b} \neq 0,\)\({\gamma a+ \delta b} \neq 0,\)\({\alpha c+\beta d} \neq 0,\) \({\gamma c+ \delta d} \neq 0\).

Для этого достаточно самостоятельно проверить основное свойство пропорции:

\((\alpha a+\beta b)({\gamma c+ \delta d})\)=\(({\gamma a+ \delta b})(\alpha c+\beta d)\).

При разных значениях чисел \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) получаем различные виды производных пропорций, например,
при \(\alpha=\beta=1, \gamma=0, \delta=1:\)

\(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\);

при \(\alpha=\delta=1, \beta=-1, \gamma=0:\)

\(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\);

при \(\alpha=\beta=1, \delta=-1, \gamma=1:\)

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\).

Отметим ещё свойство равных отношений:

\(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}\).

Если обозначить общее значение отношений k, то получим

\(\frac{a_1}{b_1}=k; \frac{a_2}{b_2}=k; ...\frac{a_n}{b_n}=k\).

Откуда: \(a_1=kb_1: a_2=kb_2:...a_n=kb_n\).

Складывая равенства почленно, находим:

\(a_1+a_2+...+a_n=k(b_1+b_2+...+b_n)\).

Или: \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}=\frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2}= ...\frac{a_n}{b_n}\).