Рассмотрим движение отдельных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 5.7). Каждая из них массой m_i движется по окружности постоянного радиуса r_i. Ее линейная скорость \({\vec v_i}\), импульс \({m_i}{\rm{ }}{\vec v_i}\). Скорость и импульс перпендикулярны радиусу, т.е. радиус является плечом вектора \({m_i}{\rm{ }}{\vec v_i}\). Поэтому можно записать, что момент импульса данной точки равен

\({L_i} = {m_i}{\rm{ }}{v_i}{\rm{ }}{r_i}\), \({\vec L_i} = \left[ {{{\vec r}_i}{{\vec P}_i}} \right]\) (5.22)

и направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Учитывая, что \({v_i} = \omega {r_i}\), получим

\({L_i} = {m_i}r_i^2\omega = {I_i}{\omega _i}\), (5.23)

где \({I_i}\) – момент инерции материальной точки  относительно оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно оси равен сумме моментов импульсов всех его точек:

\(L = \sum\limits_i {} {I_i}\omega \),

или

\(L = \sum\limits_i {{m_i}r_i^2\omega = \omega \sum\limits_i {{m_i}} } r_i^2 = I\omega \). (5.24)

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой же оси на угловую скорость.

Учитывая, что векторы \(\vec L\) и \(\vec \omega \) имеют одинаковое направление, придем к соотношению

\(\vec L = I\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over \omega } \). (5.25)

При описании динамики вращательного движения момент импульса играет такую же роль, что и импульс при поступательном движении.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 5.2).

Таблица 5.2