Пусть в системе К в точках с координатами x₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂ могут происходить 2 события.

В системе К' им соответствуют координаты x'₁ и x'₂, время t'₁ и t'₂.

1. Если в системе К события происходят в одной точке (x₁ = x₂) и являются одновременными (t₁ = t₂), будут ли события одновременными в системе Кʹ, движущейся относительно системы К со скоростью \(v\)?

Из преобразований Лоренца следует:

x'₁ = x'₂, t'₁ = t'₂,

т.е. эти события в системе К' происходят в одной точке и являются одновременными. Следовательно, эти события для любых инерциальных систем отсчета являются одновременными и пространственно совпадающими.

2. Если в системе К события происходят в разных точках (x₁ ≠ x₂ ) – пространственно разобщены, но одновременно (t₁ = t₂), будут ли они одновременны в системе Кʹ, движущейся относительно К со скоростью \(v\)?

В системе К':

\(\begin{array}{l}{{x'}_1} = \frac{{{x_1} - vt}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }},\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}{{x'}_2} = \frac{{{x_2} - vt}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }};\\{{t'}_1} = \frac{{t - \frac{{v{x_1}}}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }},\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}{{t'}_2} = \frac{{t - \frac{{v{x_2}}}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }},\end{array}\) (7.25)

т.е. x'₁ ≠ x'₂, t'₁ ≠ t'₂, события остаются пространственно разобщенными и оказываются неодновременными.

События, одновременные в одной системе отсчёта, не одновременны в другой системе отсчета:

\({t'_2} - {t'_1} = \frac{{t - \frac{{v{x_2}}}{{{c^2}}} - t + \frac{{v{x_1}}}{{{c^2}}}}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }} = \frac{{v\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{c^2}\sqrt {1 - {\beta ^2}} }} \ne 0.\) (7.26)

Знак определяется знаком выражения \(v\left( {{x_1} - {x_2}} \right).\)