В релятивистской механике масса m(\(\vec v\)) утрачивает смысл коэффициента пропорциональности между векторами \(\vec a\) и \(\vec F\):

\(\vec F = \frac{{{\rm{d}}\vec p}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{{m_0}\vec v}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}} \right);\) (7.48)

т.к. \(\vec p = f\left( {v,\vec v} \right),\;\) то исследуем эту зависимость:

• Если \(\vec F \bot \vec v\quad {v^2} = {\rm{const}}{\rm{.}}\) Так как \(\vec a = \frac{{{\rm{d}}\vec v}}{{{\rm{d}}t}},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\quad \vec F = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\vec a,\) отсюда

\(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}.\) (7.49)

• Если \(\vec F||\vec v{\rm{,}}\) то \(\vec F = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right)}^3}} }}\vec a.\) Отсюда

\(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {{{\left( {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right)}^3}} }}.\) (7.50)

В отличие от Ньютоновской механики вектор силы \(\vec F\) в релятивистской механике не является инвариантом (в различных инерциальных системах отсчета \(\vec F\) имеет различные модули и направления).

Итак, основное уравнение релятивистской динамики:

\(\vec F = \frac{{{\rm{d}}\vec P}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}(mv)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{{m_0}v}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^{\rm{2}}}}}{{{c^{\rm{2}}}}}} }}} \right)\), (7.51)

где \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), а m₀ – масса покоя частицы (в системе отсчёта, относительно которой частица находится в покое).

При малых скоростях (\(v\) << c) уравнение практически совпадает с уравнением механики Ньютона. Однако по мере увеличения скорости материальной точки её импульс возрастает быстрее, чем скорость. Очевидно, что \(\mathop {\lim \;P}\limits_{v \to c} = \infty \). Все реальные силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено по времени. Поэтому силы не могут сообщить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а всегда меньше её.