Продифференцируем уравнение (7.3) по времени:

\(\begin{array}{l}\frac{{{\rm{d}}\vec r}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}\left( {{{\vec v}_0}t + \vec r'} \right)}}{{{\rm{d}}t}} = {{\vec v}_0} + \frac{{{\rm{d}}\vec r'}}{{{\rm{d}}t}};\\{\rm{d}}t = {\rm{d}}t';\end{array}\) (7.6)

\(\vec v = {\vec v_0} + \vec v'\) (7.7)

– теорема сложения скоростей Галилея.

Здесь \({\vec v_{}}\) – скорость движения тела относительно К (абсолютная), \({\vec v'_{}}\) – скорость движения тела относительно К' (относительная), \({\vec v_{\rm{0}}}\) – скорость движения системы К' относительно К (переносная).

Если \(\vec v = {\rm{const}},\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}{\vec v_0} = {\rm{const}} \Rightarrow \vec v' = {\vec v_0} - \vec v = {\rm{const}}\quad \Rightarrow F = 0,\) т.е. если в системе К на материальную точку силы не действуют, то и в системе К' на материальную точку силы не действуют. Если система отсчета движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчёта, то она также является инерциальной.

Классический принцип относительности утверждает, что законы механики во всех инерциальных системах отсчета имеют одинаковую математическую форму выражения. Покажем, что второй закон Ньютона в системе К и в системе К΄ имеет одинаковую форму.

Продифференцируем уравнение (7.7) по времени:

\(\frac{{{\rm{d}}\vec v}}{{{\rm{d}}t}} = \underbrace {\frac{{{\rm{d}}{{\vec v}_0}}}{{{\rm{d}}t}}}_{\scriptstyle\;\;\; = 0\atop\scriptstyle{{\vec v}_0} = {\rm{const}}} + \underbrace {\frac{{{\rm{d}}\vec v'}}{{{\rm{d}}t}}}_{\frac{{{\rm{d}}\vec v'}}{{{\rm{d}}t'}}}\) (7.8)

Из выражения (7.8) следует, что

\(\vec a = \vec a',\) (7.9)

а так как \(m = {\rm{const}}\), то можем записать \(m\vec a = m\vec a'.\)

Ускорение движения материальной точки является инвариантным (не меняется) относительно инерциальной системы отсчёта. Следовательно, второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Таким образом, находясь в инерциальной системе отсчёта, никакими механическими опытами нельзя обнаружить, движется система равномерно и прямолинейно или покоится.