Пример 1. Опыт с мюонами. Эти частицы (мюоны) рождаются на расстоянии 30 км от поверхности Земли и обнаруживаются вблизи поверхности Земли, т.е. проходят путь S = 30 км. Мюоны относятся
к нестабильным частицам. Их собственное время жизни (по часам в той инерциальной системе отсчета, относительно которой мюон покоится) \({\tau '_0}\)= 2·10^–6 с.

Если принять, что мюоны движутся со скоростью, близкой к скорости света, то путь, пройденный мюоном в системе отсчета, связанной с самой частицей (в системе отсчета К΄),

\(S' = c \cdot {\tau '_0} = 3 \cdot {10^8} \cdot 2 \cdot {10^{ - 6}} = 600\;\;{м\rm{}} < < 30\;\;{км\rm{}}.\)

В системе отсчёта, связанной с Землёй, время существования (жизни) мюона \(\tau = \frac{{{{\tau '}_0}}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }};\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\quad \tau > {\tau '_0}.\) 

Поэтому за время жизни мюон с точки зрения земного наблюдателя пролетает расстояние \(c\tau > c{\tau '_0}\quad \Rightarrow S > S'.\)

Пример 2. «Парадокс близнецов (часов)». Релятивистский эффект замедления времени в космическом корабле, движущемся относительно Земли, открывает возможность осуществления сколь угодно дальних космических полетов и путешествий в «будущее». Согласно принципу относительности, все процессы на космическом корабле, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Однако при этом время на корабле необходимо измерять по часам, движущимся вместе с ним со скоростью \(v\) относительно Земли.

Пусть осуществляется космический полёт со скоростью, близкой к скорости света с (β = 0,99999).

Если покоящиеся часы связаны с космическим кораблём, удаляющемся с \(v\)= βc, то для наблюдателя, связанного с Землёй, ход часов в космическом аппарате замедляется в \(\frac{1}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}\) раз или ход часов на корабле и на Земле отличается в \(\frac{\tau }{{{{\tau '}_0}}} = 224\). Следовательно, на таком корабле за промежуток времени \({\tau _0} = 10\;лет\) (по часам на корабле) можно постареть на 10 лет. Этот космический перелет по часам на Земле будет продолжаться \(\tau = 2240\;{лет\rm{}}\). При этом корабль удалится от Земли на огромное расстояние \(S = v\tau = \beta \cdot c\tau = 2239,98\;{световых\rm{}}\;{лет\rm{}}\).

Если космонавт, совершивший космический перелет со скоростью , близкой к скорости света с, возвратится на Землю, то обнаружит, что люди на Земле (в частности, его брат-близнец, оставшийся на Земле) постарели за время полета больше, чем он.

С другой стороны, основываясь на принципе относительности, можно прийти к прямо противоположному выводу: часы на Земле, движущейся со скоростью \(v\) относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полета должна быть большей для космонавта, а не для жителей Земли. Соответственно, из двух близнецов за время полета больше должен постареть космонавт. Таким образом, получается, что разность показаний часов на Земле и корабле после приземления должна быть, с одной стороны, положительной, а с другой – отрицательной. Этот результат получил название парадокса часов или «парадокса близнецов».

В действительности никакого парадокса нет. Парадоксальный результат возник только вследствие неправильного применения принципа относительности. Принцип относительности справедлив только для инерциальных систем отсчета. Системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны. Система отсчета, связанная с Землей, – это инерциальная система отсчета, система отсчета, связанная с кораблем, – это неинерциальная система отсчета (корабль движется с ускорением на подъеме и спуске). Следовательно, принцип относительности к ним
неприменим.