Преобразования координат – это формулы преобразования координат материальной точки и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эти преобразования должны переходить в преобразования Галилея при скоростях движения тел, малых по сравнению со скоростью света, т.е. при \(v\)<< c, и удовлетворять постулатам Эйнштейна.

Этому требованию отвечают только линейные преобразования:

\(x = A\left( {x' + vt'} \right);\) (7.10)

\(x' = A\left( {x - vt} \right).\) (7.11)

Если предположить, что в этих системах распространяется световой сигнал, то в соответствии со вторым постулатом скорость света в вакууме – инвариант (постоянна):

\(x = ct;\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}x' = ct'.\) (7.12)

С учётом уравнений (7.10), (7.11), перепишем (7.12):

\(\begin{array}{l}ct = A\left( {ct' + vt'} \right) = At'\left( {c + v} \right);\\ct' = A\left( {ct - vt} \right) = At\left( {c - v} \right).\end{array}\) (7.13)

Перемножим уравнения системы (7.13):

\({c^2}tt' = {A^2}tt'\left( {{c^2} - {v^2}} \right) \Rightarrow \) (7.14)

\( \Rightarrow {A^2} = \frac{{{c^2}}}{{{c^2} - {v^2}}} = \frac{1}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}.\) (7.15)

\(A = \pm \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},\) (7.16)

т.к. оси направлены в одну сторону, то остается +А:

\(A = \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},\) (7.17)

\(\frac{v}{c} = \beta \quad \Rightarrow A = \frac{1}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}.\) (7.18)

Уравнение (7.18) подставляем в (7.10), (7.11):

\(x' = \frac{{x - vt}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}\); (7.19)

\(x = \frac{{x' + vt'}}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}.\) (7.20)

В начальный момент времени системы К и К' совпадают, движение происходит вдоль оси х, следовательно, \(y = y',\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}z = z'.\)