Связь кинетической энергии и импульса в классической механике Ньютона выражается формулой \({E_{к\rm{}}} = \frac{{{p^2}}}{{2m}} = \frac{{m{v^2}}}{2}\), при этом m=m₀ =const. Если потенциальную энергию не учитываем, то полная энергия частицы равна её кинетической энергии, в этом случае \({E_{к\rm{}}} = \frac{{{p^2}}}{{2m}} = \frac{{m{v^2}}}{2}\; = E\).

Найдем связь полной энергии и импульса для тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света:

\(E = \frac{{{m_0}{c^2}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = m{c^2}.\quad \quad \)

Преобразуем выражение (избавимся от квадратного корня):

\({m^2}{c^4}\left( {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \right) = m_0^2{c^4},\quad \begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}\underbrace {{m^2}{c^4}}_{{E^2}} - \underbrace {{m^2}{v^2}}_{{p^2}}{c^2} = m_0^2{c^4}\quad \quad \Rightarrow {E^2} - {p^2}{c^2} = m_0^2{c^4}\).

Отсюда

\({E^2} = m_0^2{c^4} + {p^2}{c^2}\quad \quad \Rightarrow E = \sqrt {m_0^2{c^4} + {p^2}{c^2}} .\) (7.59)